Algebros šperos

(21 darbai)

Algebra (2)Tiesinių lygčių sistema. Ekvivalenčios tiesinių lygčių sistemos. Gauso metodas. Antros ir trečios eilės determinantai. Tryjų lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Kramerio taisyklė. Kėliniai, transpozicija. Inversija. Lyginis ir nelyginis kėliai. Keitinys. Lyginiai ir nelyginiai keitiniai. n-tos eilės determinantas. n-tos eilės determinanto savybės. Transponuotas determinantas. n-tos eilės determinanto savybės. Determinantas kuris turi nulinę eilutę, determinantas sukeičiant dvi eilutes. n-tos eilės determinanto savybės. Determinantas dauginant eilutę iš skaičiaus, determinantas su proporcingomis eilutėmis. n-tos eilės determinanto savybės. Determinantų suma. n-tos eilės determinanto savybės. Ekvivalentus determinanto pertvarkymas. Determinanto minoras, papildinys, algebrinis papildinys. Teorema apie determinanto minorą ir jo algebrinio papildinio sandaugą. Determinanto skleidinys eilute (stulpeliu). Laplaso teorema. Laplaso teorema, determinanto skaičiavimas jo pagalba. Determinanto skleidinio eilute (stulpeliu) savybės. Kramerio taisyklė. n-mačiai vektoriai. Veiksmai su n-mačiais vektoriais. Vektorinė erdvė. Vektorių tiesinė priklausomybė. Vektorių tiesinė priklausomybės savybės. Tiesiškai nepriklausomų vektorių sistemos. Maximalios tiesiškai nepriklausomos vektorių sistemos. Vektorių sistemos tiesinis išreiškiamumas kita sistema. Vektorių sistemų ekvivalentumas. Teorema apie tiesiškai išreiškiamų vektorių sistemų. Vektorių skaičių palyginimą. Ekvivalenčių tiesiškai nepriklausomų vektorių sistemų skaičius. Maximalių tiesiškai nepriklausomų posistemių vektorių skaičius. Vektorių sistemos rangas. Matricos rangas. Teorema apie matricos rangą. Matricos rango nustatymas. Tiesinių lygčių sistemos. Kronekerio-kapeli teorema. Kronekerio-kapeli teorema. Tiesinių lygčių sistemos sprendinių nustatymas. Matricų daugyba. Teorema apie matricų sandaugos determinantą. Neišsigimusi ir išsigimusi matricos. Prijungtoji matrica, jos savybės. Atvirkštinė matrica. Jos taikymas matricų lygčių sprendimui. Kompleksinių skaičių sistema. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais. Kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma. Sujungtiniai kompleksiniai skaičiai. Muavro formulė. Skaityti daugiau
Algebrinės struktūros (2)Bazės vektorinėse tiesinėse erdvėse. Bazės tiesinės vektorinės erdvės poerdviuose. Skaliarinės sandaugos sąvoka. Koši ir Buniakovskio nelygybė. Kampas tarp vektorių. Skaliarinės sandaugos koordinatinė forma. Tiesinio operatoriaus sąvoka ir jo matricinė išraiška. Tiesiniai operatoriai, vaizduojantys tiesinę erdvę pačią į save – tiesinės transformacijos. Algebrinės struktūros. Vienaveiksmės algebrinės struktūros. Algebrinės operacijos ir jų reiškimo būdai. Algebrinė struktūra. Grupoidas. Kai kurios grupoido savybės ir ypatingieji elementai. Pusgrupė. Grupė. Pogrupis. Elementariųjų grupių pavyzdžiai. Grupių morfizmai (vaizdavimai). Žiedų vaizdavimai (morfizmai). Dviveiksmių algebrinių struktūrų klasifikavimas. Algebros sąvoka. Skaityti daugiau
AlgoritmaiAlgoritmų analizės problemos. Kombinatoriniai objektai ir jų vaizdavimo būdai. Grafai ir jų vaizdavimas. Algoritmai ir jų sudėtingumas. Viršutiniai algoritmų sudėtingumo įverčiai. Apatiniai algoritmų sudėtingumo įverčiai. Funkcijų augimo greičiai ir kombinatorinis sprogimas. Teorema "Skaldyk ir valdyk". Sveikųjų dvejetainių skaičių daugyba. Matricų daugyba Strassen‘o metodu. Dinaminis programavimas. Fibonacci skaičiai ir kuprinės pakavimo uždaviniai. Dinaminis programavimas. Matricų daugybos tvarka. Paieška su grįžimu. N valdovių uždavinys. Minimalaus skaidinio uždavinys. Šakų ir rėžių metodas, jo taikymas keliaujančio pirklio uždaviniui. Darbų paskirstymo uždavinys. Godūs algoritmai. Minimalus karkasas ir keliaujančio pirklio uždavinys. Paieška grafuose gilyn ir platyn. Karkasai ir grafo komponentės. Oilerio grafai. Trumpiausi keliai grafuose. Grafų izomorfizmas. Kalbų ir uždavinių ryšys. Uždavinių sudėtingumas klasė P. Sudėtingumo klasės NP ir co-NP. NP-pilnumas. Sudėtingumo klasė NPC. Uždavinys CIRCUIT-SAT. Uždavinai SAT,3_KNF_SAT, CLIQUE(k) ir VERTEX_COUER(k). Skaityti daugiau
Apibrėžtinis integralas (3)Integralai. Apibrėžimai ir Teoremos. Integralinė suma S(P, f), jos sudarymas. Viršutinis ir apatinis integralai, Rymano Integralo apibrėžimas. Funkcijos svyravimas. Rymano Integralas kaip integralinių sumų riba. Integruojamų funkcijų klasės. Apibendrinta pirmykštė funkcija. Koši ir Buniakovskio nelygybė. Vidurinės reikšmės teorema. Apibrėžtinis Integralas kaip viršutinės ribos funkcija. Niutono ir Leibnico formulė. Funkcijos modulio integruojamumas. Netiesioginiai Integralai. 3 tipai. Tiesioginis ir Netiesioginis integralai priklausantys nuo parametro. Priklausančio nuo parametro tolygus konvergavimas, Vejerštraso požymis. Integralo diferencijavimas parametro atžvilgiu. Oilerio Integralai. Gama ir Beta funkcija. Gama funkcijos savybės. Jakobiano sąvoka ir prasmė. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu. Skaityti daugiau
Diferencialinės lygtys (2)Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygties sprendimas izoklinų metodu. Pirmos eilės homogeninės diferencialinės lygtys. Bernulio diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygtys pilnais diferencialais. Aukštesnių eilių diferencialinės lygtys. Koši uždavinys. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema. Antros eilės diferencialinės lygčių atskiri atvejai. Antros eilės homogeninės diferencialinės lygtys. Antros eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties bendro sprendinio struktūra. Ostrograckio - Liuvilio teorema. Antros eilės nehomogeninės diferencialinės lygtys. Lagranžo metodas. Tiesinių nehomogeninių diferencialinės lygčių taikymas Lagranžo metodu. Antros eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. II eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Normalinės diferencialinių lygčių sistema. Kanoninės diferencialinių lygčių sistemos. Tiesinių diferencialinės lygčių su pastoviais koeficientais sistemos. Skaityti daugiau
Diferencialinės lygtys (5)Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Koši uždavinys. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su homogeniniais koeficientais. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys. Koši uždavinys. Bernulio lygtys. Lygtys pilnaisiais diferencialais. Integruojamas daugiklis. Lagranžo ir Klero lygtys. Antrosios eilės tiesinės homogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sprendinių egzistavimo teorema/vienaties teorema. Tiesinės homogeninės pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistemos. Fundamentalioji sprendinių sistema. Vronskio determinantas. Bendrojo sprendinio struktūra. Tiesinė nehomogeninė pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistema. Konstantų varijavimo metodas. Tiesinės homogeninės pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais (su skirtingomis realiomis šaknimis). Tiesinės homogeninės pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais (su kartot. realiomis šaknimis). Tiesinės homogeninės pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais (su kompleksinėmis šaknimis). Autonominės diferencialinių lygčių sistemos trivialiojo sprendinio stabilumo teoremos. Neautonominės diferencialinių lygčių sistemos trivialiojo sprendinio stabilumo teoremos. Skaityti daugiau
Diskrečioji matematikaRekursyviosios funkcijos. Minimizacijos operatorius. Baigtinumo problema. Rekursyviai skaičiosios aibės. Nepriklausomos aksiomos. Bendrarekursinės funkcijos. Determinuotosios funkcijos. Skaityti daugiau
Diskrečioji matematika (3)Aibė. Funkcija. Operacija fi. Operacija. Algebra. Grupė. Skaityti daugiau
Diskrečioji matematika (5)Algoritmai. Pagrindiniai reikalavimai. Algoritmų modeliai. Efektyvios procedūros ir algoritmai. Tiuringo mašina (TM). Tiuringo mašinų atminties valdymas. Paieška. Perrašymas. TM naudojimas funkcijų skaičiavimui. UTM. Efektyvaus išsprendžiamumo problemos. Sustojimo problema. Sustojimo problemos neišsprendžiamumas. Raiso teorema (jos apibendrinimai). Skaityti daugiau
Diskrečioji matematika (7)Paprastieji grafai. Grafo papildinys, dalis, pografis, sugrafas. Grafų izomorfizmas. Grafo viršūnės laipsnis, viršūnių laipsnių vektorius. Vienalytis grafas, dažniau pasitaikantys grafai. Veiksmai su grafais. Grafo invariantai. Grafo tankis, retumas, chromatinis skaičius. Jungus grafas, grafo Chadvigerio skaičius. Grafo invariantai F,E,G,H. Grafo gretutinumo matrica, dvejetainis kodas. Grafo nusakymas viršūnių aibėmis. F(L) nustatymas. E(L) nustatymas. G(L) nustatymas. Maršrutas, grandinė, paprastoji grandinė grafe, ciklas. Maršrutai grafe,lema apie juos, jungumas. Kionig teorema apie chromatinį skaičių. Šarnyrai, sąsmauka. Blokai, teorema apie blokus. Grafo blokai, teorema apie grafo blokus. T blokai. Brukso teorema. Medis. Teoremos apie medžių savybes. Porų derinys, didintuvas. Lemos apie grafų plonų viršūnių skaičių. Mengerio teorema. Multigrafai, jų nusakymo būdai. Multigrafo izomorfizmas. Oilerio teorema. Teorema apie neatkertamas ir supinamas viršūnes. Bendro pavidalo baigtiniai grafai. Orientuotas grafas (dalinai orientuotas grafas). Skaityti daugiau
FunkcijosFunkcijos sąvoka. Pagrindinės elementariosios funkcijos. Parametrinės lygtys. Funkcijos riba. Apibrėžimas. Ribos egzistavimo sąlygos. Ribų savybės. Funkcijų vienpusės ribos. NIMFA. Tolydžios trūkios funkcijos. Neapibrėžtumai. Funkcijų asimptotės. Skaityti daugiau
Funkcinė analizėMetrinė erdvė su pavyzdžiais. Metrinių erdvių tolydūs atvaizdžiai. Konvergavimas metrinėje erdvėje. Uždavinio operatorius. Tiršta aibė. Uždaros ir atviros aibės metrinėje erdvėje. Pilnos metrinės erdvės. Tipologinės erdvės sąvoka. Taškų klasifikacija. Tipologinės erdvės bazė. Kompaktiškos tipologinės erdvės. Vejerštraso teoremų apibendrinimas tipologinėse erdvėse. Tiesinės erdvės. Izomorfizmas. Tiesinės erdvės matavimas, tiesinė priklausomybė. Iškilios aibės. Iškili funkcionalai. Normuotos erdvės. Euklido erdvės. Separabilios Euklido erdvės.. N-matės Euklido erdvės. Hilberto erdvės, jų izomorfizmas. Hilberto erdvės poerdviai. Ortogonalusis papildinys. Kompleksinės Euklido erdvės. Tolydūs tiesiniai funkcionalai. Tiesiniai funkcionalai normuotose erdvėse. Tiesiniai funkcionalai suskaitytinėse normuotose erdvėse. Sujungtinė erdvė, funkcionalo norma. Stiprioji topologija sujungtinoje erdvėje. Antra sujungtinė erdvė. Silpnoji tipologija tiesinėje tipologinėje erdvėje. Tiesinis operatorius, jo tolydumas. Ortogonalaus projektavimo ir diferencijavimo operatoriuje nagrinėjimas. Tiesinio operatoriaus apibrėžtumas. Veiksmai su tiesiniais operatoriais. Tiesinių operatorių erdvė. Sujungtiniai operatoriai. Sujungtinių operatorių savybės. Apibendrintos funkcijos. Apibendrintų funkcijų išvestinės. Tiesinio operatoriaus norma. Teorinis suspaudžiančio atvaizdžio principas. Arcelos teorija. Chano-Banacho teorija. Teorija apie ortogonalizacija. Riso-Fišerio teorija. Ortogonalios normuotos sistemos pilnose Euklidinėse erdvėse. Teoremos apie Hilberto erdvės poerdvius ir jų ortogonalius papildinius. Būtina ir pakankama sąlyga, kad normuota erdvė būtų Euklido. Chano-Banacho teorija normuotose erdvėse. Teorija apie sujungtinės erdvės pilnumą. Teorija apie tolydaus tiesinio funkcionalo Hilberto erdvėje išraišką. Teorija apie silpnai konverguojančią seką. Teorija apie atvirkštinį operatorių. Banacho teorija apie atvirkštinį operatorių. Skaityti daugiau
IntegralaiApibrėžtinio integralo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Jo savybės.Vidurinės reikšmės teorema. Apibrėžtinis integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Niutono ir Leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas keičiant kintamąjį. Integralas su simetriniais rėžiais. Integravimas dalimis. Integralai (nN). Integralo konvergavimas. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais konvergavimo požymiai. Apibrėžtinis integralas su begaliniais rėžiais. Trūkiųjų funkcijų netiesioginiai integralai. Kūnų tūrio skaičiavimas. Sukinio tūrio formulė. Sukinio tūris. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje. Lanko ilgio skaičiavimas. Ploto skaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje. Ploto ir lanko ilgio skaičiavimas polinėje koordinačių sistemoje. Apibrėžtinio integralo taikymo schema. Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygties sprendimas izoklinų metodu. Pirmos eilės homogeninės diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygtys, kurių formulė: y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)). Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Bernulio diferencialinės lygtys. Pirmos eilės diferencialinės lygtys pilnais diferencialais. Aukštesnių eilių diferencialinės lygtys. Koši uždavinys. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema. Antros eilės diferencialinių lygčių atskiri atvejai. "n" eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys. Ostrograckio - Liuvilio teorema. Antros eilės nehomogeninės diferencialinės lygtys. Lagranžo metodas. Tiesinių nehomogeninių diferencialinių lygčių taikymas Lagranžo metodu. Antros eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. II eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Normalinės diferencialinių lygčių sistema. Kanoninės diferencialinių lygčių sistemos. Tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemos. Skaityti daugiau
Kompleksiniai skaičiai (3)Kompleksinio skaičiaus apibrėžimai. Kompleksinė plokštuma. Algebriniai veiksmai su kompleksiniais skaičiais. Kompleksinių skaičių trigonometrinė išraiška ir jos naudojimas atliekant daugybą, dalybą ir keliant laipsniu. Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus. Kompleksinio skaičiaus rodyklinė formulė. Kompleksinio kintamojo funkcijos sąvoka. Tiesinė kompleksinio kintamojo funkcija. Kai kurios elementariosios kompleksinio kintamojo funkcijos. Neapibrėžtinio integralo lentelės. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas. Apibrėžimas. Tiesioginis integravimo metodas. Integravimas keičiant kintamąjį. Integravimas dalimis metodas. Kvadratinio dvinario, pakelto n-tuoju laipsniu integravimas. Kvadratinių trinarių integravimas. Paprasčiausių trupmenų integravimas. Kvadratinių dvinarių integravimas. Racionaliųjų trupmenų integravimas. Racionalių trupmenų skaidymas. Racionalių trupmenų integravimas. Iracionaliųjų funkcijų integravimas. Trigonometrinių funkcijų integravimas. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas ir jo geometrinė prasmė. Jo savybės. Vidurinės reikšmės teoremos. Apibrėžtinis integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Niutono ir Leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas keičiant kintamąjį. Integralas su simetriniais rėžiais. Integravimas dalimis. Integralai. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais konvergavimo požymiai. Apibrėžtinis integralas su begaliniais rėžiais. Trukiųjų funkcijų netiesioginiai integralai. Kūnų tūrio skaičiavimas. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje. Lanko ilgio skaičiavimas. Ploto ir lanko ilgio skaičiavimas polinėje koordinačių sistemoje. Apibrėžtinio integralo taikymo schema. Skaityti daugiau
Matematinės funkcijosAtvirkštinė funkcija. Išreikštinės ir neišreikšt funkcijos. Hiperbolinės funkcijos. Parametrinės funkcijos lygtis. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė. Funkcijos diferencijuojamumas. Diferencijavimo taisyklės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Logaritminio diferencijavimo metodas. Parametrinėmis lygtimis duotų funkcijų diferencijavimas. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema. Rolio teorema. Koši teorema. Lopitalio taisyklė. Diferencialas ir jo savybės. Diferencijavimo pritaikymas apytiksliam skaičiavimui. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai. Bendroji funkcijų tyrimų schema. Ekstremumai. Kreivės asimptotės. Bendros sąvokos kelių kintamųjų funkcijų. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas pokyčiai. Kelių kintamųjų funkcijų dalinės išvestinės. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės. Sudėtinės funkcijos diferencijavimas. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas dalinių išvestinių pagalba. Kelių kintamųjų funkcijų aukštesnių eilių diferencijavimas. Dviejų kintamųjų funkcijų ekstremumai. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas diferencialai. Skaityti daugiau
Skaičių eilutės (2)Skaičių eilutė ir jos suma. Pagrindinės eilučių savybės. Būtina eilučių konvergavimo salyga. Harmoninė eilutė. Geometrinės progresijos eilutė. Teigiamųjų eilučių palyginimas. Teigiamų eilučių konvergavimo požymiai. Alternuojanti eilutė. Absoliutus konvergavimas. Funkcijų eilutė. Laipsninė eilutė, Abelio teorema. Laipsninių eilučių savybės. Laipsninės eilutės konvergavimo intervalo nustatymas. Laipsninių eilučių savybės. Teiloro eilutė. Skaityti daugiau
Skaitiniai metodaiApytiksliai skaičiai ir paklaidos. Interpoliavimas. Splainas. Pusiaukirtos metodas. Relaksacijos metodas. Niutono metodas. Netiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai. Gauso metodas. Triįstrižainės sistemos. Skaidos metodai (LU ir Choleckio). Jakobio ir Zeidelio metodas. Stacionarieji iteraciniai metodai. Variaciniai metodai. Stačiakampių, trapecijų, Simpsono formulės. Stačiakampių formulės. Trapecijų formulė. Simpsono formulė. Neapibrėžtinių koeficientų metodas. Gauso skaitinio integravimo formulės. Bendroji uždavinio sprendimo schema. Parabolių metodas. Atvirkštinių iteracijų metodas. Laipsnių metodas. Aukso pjūvio metodas. Niutono metodas. Kelių kintamųjų funkcijų minimumo uždavinys. Simpleksų metodas. Skaityti daugiau
Tiesinė algebra (3)Tiesinis operatorius. Tiesinių lygčių išsprendžiamumas. Spektrinis savijungio operatoriaus išdėstymas. Keilio ir Hamiltono teorema. Pk – savybės. Unitarusis operatorius. Ortogonalioji transformacija. Skaityti daugiau
Tiesinė algebra ir diferiancialinis skaičiavimasIšvestinės sąvoka. Išvestinės geometrinė prasmė. Diferencialo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Diferencialo formos invarianntiškumo savybė. Diferencialo savybės. Vidurinių reikšmių teoremos. Rolio teorema, Koši teorema. Lagranžo teorema, Lopitalio taisyklė. Pakankamos ekstremumo sąlygos. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai. Funkcijos grafiko asimptotės. Vertikaliosios asimptotės. Pasvirosios asimptotės. Dalinės išvestinės, jų geometrinė prasmė. Pilnasis funkcijos pokytis. Pilnasis diferencialas. Sudėtinių funkcijų diferencijavimas. Kryptinė išvestinė. Gradientas. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Skaityti daugiau
Tiesinė algebra ir išvestinėsBendroji tiesės lygtis erdvėje R2. Kampas tarp dviejų tiesių. Taško atstumas iki tiesės. Bendroji plokštumos lygtis. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje R3 kanoninės ir parametrinės lygtys. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus. Apskritimas. Elipsė. Hiperbolė. Parabolė. Polinė koordinačių sistema. Skaičių seka ir jos riba. Monotoninės ir aprėžtos sekos. Skaičius e. Funkcijos riba taške. Vienpusės ribos. Funkcijos riba begalybėje. Neapibrėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos. Nykstančios funkcijos, jų savybės. Nykstamų funkcijų palyginimai. Tolydžios funkcijos. Funkcijos trūkio taškai. Skaityti daugiau